بررسی جریان های جمع صفر گراف ها

مفهوم جریان در یک گراف، مدلی مفید در تحقیق در عملیات و هم چنین معادل با مفهوم شدت جریان برق شبکه های الکترونیک است. بنابراین جای تعجب نیست که نظریه جریان، موضوعی کلاسیک و مهم در نظریه گراف محسوب می شود، که البته منجر به توسعه ای در نظریه بهینه سازی ترکیبیاتی، ترکیبیات چند وجهی و نظریه مترویدها شده است.indent جریان ها در نظریه گراف، به دلیل ارتباطشان با مسائل نگاشت رنگی گراف ها، از اهمیت ویژه ای برخوردارند. مسئله ی نگاشت رنگی به عنوان یکی از مهم ترین عوامل گسترش نظریه گراف در تاریخ 270 ساله ی آن مورد توجه قرار گرفته و به همین دلیل است که نظریه رنگ پذیری گراف ها و مسائل مربوط به آن همیشه به عنوان اصلی ترین زمینه ی تحقیقات در نظریه گراف محسوب می شوند.indent در سال 1954، ویلیام تات در مقاله ی [ ef{r12}] مطرح کرد که مسئله ی رنگ پذیری وجهی گراف های مسطح را می توان با مفهوم جدیدی به نام جریان های صحیح در این گراف ها بیان کرد؛ و از آن زمان به بعد، تئوری جریان های صحیح یکی از جذاب ترین مسائل در نظریه گراف هستند. گوییم گراف $g$ دارای $k$-جریان هیچ جا صفر است، هرگاه بتوانیم اعداد صحیح بین $-k$ و $k$ (بجز 0) را به یال های گراف جهت دار اختصاص دهیم به طوری که مجموع مقادیر یال های ورودی برابر با مجموع مقادیر یال های خروجی باشد. به عنوان مثال، می توان نشان داد که قضیه ی چهار رنگ معادل است با این که هر گراف جهت دار مسطح بدون یال برشی، دارای جریان هیچ جا صفری با مقادیر از مجموعه ی ${pm1,pm2,pm3}$ می باشد. برای گراف های بی جهت جریان جمع صفر روی گراف $g$ اختصاص اعداد صحیح ناصفر به یال های $g$ تعریف می شود، به گونه ای که مجموع یال های واقع بر هر رأس صفر باشد.indent با مطالعه ی این قبیل مسائل، به تعمیمی در مفهوم جریان دست می یابیم که در آن، مقادیر جریان به جای اعداد صحیح، از یک گروه آبلی انتخاب می شوند. تات سه حدس مشهور در نظریه ی جریان دارد که به حدس های $3$-جریان، $4$-جریان و حدس $5$-جریان معروف هستند. تحقیقات بسیاری در زمینه ی این سه حدس انجام شده و نتایج زیادی به دست آمده است که در این پایان نامه برخی از آن ها را بیان می کنیم. هم چنین حدسی در زمینه ی جریان ها در گراف های دوجهتی توسط بوچت مطرح شده است و حدسی مشابه با حدس بوچت برای گراف های بدون جهت نیز مطرح شده است که هیچ یک از این حدسیات هنوز به اثبات نرسیده اند و تنها برای برخی گراف ها با شرایط خاص به اثبات رسیده اند.